考研高数概念科普 · 第 2 期（通俗版）· 一句话先记住：滑的路一定通，通的路未必滑。下面亲手验证。
第一题：通不通？——笔尖不离纸，没有断口，也没有"前一秒还在山顶、后一秒掉进峡谷"的跳变。通得过，课本就叫它 连续。
第二题：滑不滑？——在曲线上每一个位置，都得能放一根唯一确定、还不竖直的斜杆，代表"曲线在这一点的方向"。通得过，课本就叫它 可导。
第二题比第一题狠得多：不但要通，还要求处处方向明确。所以结论直接写出来——
滑 ⇒ 通（一定） ｜ 通 ⇒ 滑（不一定！反例一大把）
专业表述：连续即 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)\)；可导即 \(f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 存在（有限值）。
连续（通） = 这条路是通的：没有断头路，没有悬崖式跳变，你能一路开过去。
可导（滑） = 这条路还是滑的：开到任何位置，你的行驶方向都唯一确定。没有急弯，没有尖角。
走到右图那个红色尖角点会怎样？路没断（通的！），但你的方向盘要在这一瞬间从"往左拐"瞬间改成"往右拐"——方向不唯一，所以不滑。
怎么知道曲线在某一点"有多陡"？土办法：在它旁边再找一个点，两点一连线，看这条线有多陡。然后把旁边的点一步步拉近——连线会越来越像"这一点的真实陡度"。左边拉近、右边拉近，最后量出同一个数，这点才算滑。
① 选 V 形谷 |x|，走到谷底（位置 0）：从左边量是往下坡（−1），从右边量是往上坡（+1），怎么拉近都对不上 → 通，但不滑（尖角）。
② 选 S 形 ∛x，走到位置 0：两边的线一起越立越直，冲着一堵90 度的墙去了——墙没有"斜度"可言 → 也不滑（可曲线明明圆滚滚的，意外吧）。
③ 选 碗形 x²，随便走到哪：左右永远量出同一个数 → 整条路都滑。这就是"光滑"的底气。
上述过程的课本写法就是 \(f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)：h 就是"两个测量点的间隔"，"拉近"就是 \(h\to 0\)，左右"量出的数"就是左右导数。
设 \(f'(a)\) 存在，把增量拆开乘一下（考研证明题的标准起手式）：
$$f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)$$令 \(x\to a\)，右边第一个因子趋于 \(f'(a)\)（可导），第二个因子趋于 0：
$$\lim_{x\to a}\,[f(x)-f(a)]=f'(a)\cdot 0=0 \;\Longrightarrow\; \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$这就是连续的定义 —— 所以可导必连续。反过来推不通：从"极限值=函数值"里榨不出"斜率存在"的任何信息。
| 长相 | 代表函数 | 在 x=0 处的病因 |
|---|---|---|
| 尖角 | \(|x|\) | 左导数 −1，右导数 +1，左右不等 |
| 垂直切线 | \(\sqrt[3]{x}\) | 差商 → ∞，切线垂直于 x 轴 |
| 无限振荡 | \(x^2\sin\frac{1}{x}\)（补充 \(f(0)=0\)） | 在 0 附近切线方向疯狂摆动，差商极限不存在 |